Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan bahwa matematika adalah bahasa yang menggunakan bilangan sebagai simbul utamanya, yang memiliki ciri objektif dan nonsensibel. Penjelasan dilakukan dengan menggunakan konsep perkalian dari suatu lambang bilangan.
Perkalian adalah penjumlahan berulang dari suku-suku bilangan yang sama, hanya jika bukan perkalian dengan bilangan nol baik bilangan pengali maupun bilangan yang dikalikan. Perkalian adalah penjumlahan berulang atau pengurangan dari bilangan yang sama, hanya jika perkalian dengan bilangan nol (Riyanto, 1994). Berdasarkan pengertian tersebut tampak bahwa bilangan yang dikalikan, ditambahkan sejumlah besarnya bilangan pengali atau sebaliknya. Jika bukan perkalian dengan bilangan nol. Hal ini sesuai dengan prinsip asosiasi. Pertanyaannya adalah selalukah bahwa A x B = B x A?, jika A dan B adalah bilangan nyata. Menurut prinsip asosiasi A x B = B x A. Mengapa perkalian mempunyai sifat asosiasi?. Bukankah A x B berarti penjumlahan A sebanyak B kali, sedangkan B x A berarti penjumlahan B sebanyak A kali. Jika demikian, maka A x B = B x A hanya jika A = B. Jika A ≠ B maka tidak sama. Namun, prinsip yang berlaku adalah A x B = B x A.
Untuk memudahkan pemahaman dari kedua makna di atas dapat dilihat pada contoh berikut. Misalnya A = 2 dan B = 5. Hasilnya A x B = 2 x 5 = 10 dan B x A = 5 x 2 = 10. Hasil kedua perkalian di atas adalah sama, yaitu 10. Namun, proses perolehannya yang berbeda. Cara pertama memerlukan proses penjumlahan 5 kali dan cara kedua memerlukan proses penjumlahan 2 kali. Jika dikaitkan dengan kegiatan menabung maka proses keduanya berbeda. Cara pertama, setiap menabung 2 sebanyak 5 kali menabung, sedangkan cara kedua setiap menabung 5 sebanyak 2 kali. Contoh lain, jika membeli obat di apotik, akan diberikan aturan minumnya, misalnya 3 x 1 sehari atau 1 x 3 sehari. Dalam kasus minum obat 3 x 1 sehari dan 1 x 3 sehari memiliki makna berbeda. 3 x 1 sehari artinya sehari minum obat 3 kali setiap minum 1 tablet, sedangkan 1 x 3 sehari artinya sehari minum sekali dan setiap minum 3 tablet. Meskipun yang diminum jumlahnya sama dalam sehari, yaitu 3, tetapi proses dan dampaknya berbeda.
Berdasarkan uraian di atas, muncul pertanyaan apakah sifat asosiasi suatu perkalian tidak sesuai dengan realitas?